مباحثی در هندسه تماس روی منیفلدهای سه بعدی

مطالعه هندسه تماس همانند هندسه همتافته به سبب کاربردهایی که در شاخه هایی از فیزیک (مانند مکانیک کلاسیک و ترمودینامیک) دارد، حائز اهمیت است. هندسه تماس، یک ساختار هندسی را روی منیفلدهای هموار مورد بررسی قرار می دهد که به وسیله یک میدان فراصفحه غیر انتگرال پذیردر کلاف مماس مشخص می شود. با استفاده از قضیه فروبنیوس می توان گفت که هندسه تماس، در مقابل برگ بندی حاصل از انتگرال پذیری است. از طرفی هندسه تماس مربوط به منیفلدهایی با بعد فرد است در حالی که هندسه همتافته به منیفلدهایی با بعد زوج می پردازد. در فصل اول با مرور مفاهیمی از هندسه دیفرانسیل و توپولوژی جبری و ویژگی هایی از برگ بندی، پیش نیازهای لازم برای فصل های بعدی را مهیا می کنیم. در فصل دوم ساختار تماس را در مقایسه با ساختار همتافته بررسی می کنیم. در فصل سوم به کمک ابزاری از نظریه گره ها، قضیه مارتینت را اثبات می کنیم که این قضیه وجود یک ساختار تماس بر روی هر منیفلد 3- بعدی هموار را تضمین می کند. در پایان با ارائه مفاهیمی مانند مدار های ریب و منحنی های هلومرفیک تعریفی برای همولوژی تماس روی یک منیفلد تماس را بیان می کنیم.